Bất phương trình ${\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge {\log }_{0,5}(x-1)+1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc $[0;2023]$?

Ta có: ${\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge {\log }_{0,5}(x-1)+1$

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x^2-x-2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>1\\ [<table><tbody><tr><td>x<-1</td></tr><tr><td>x>2</td></tr></tbody></table>\end{array}\iff x>2$

Ta có: ${\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge {\log }_{0,5}(x-1)+1\iff {\log }_2\left(x^2-x-2\right)\ge -{\log }_2(x-1)+1$

$\iff {\log }_2\left[\left(x^2-x-2\right)(x-1)\right]\ge 1\iff \left(x^2-x-2\right)(x-1)\ge 2\iff x^3-2x^2-x\ge 0$

$\iff x\in \left[1-\sqrt{2};0\right]\cup \left[1+\sqrt{2};+\infty \right)$

So với điều kiện $\Rightarrow x\in \left[1+\sqrt{2};+\infty \right)$

Vậy có 2021 nghiệm nguyên $x$ thỏa yêu cầu bài toán.