Biết $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+e^x}{\sqrt{x}{e}^{2x}}}dx=a+e^b-e^c$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Tính $T=abc$.

(AI giải đề cho tôi)
Biểu thức trong dấu căn: $\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+e^x}{\sqrt{x}{e}^{2x}}=\frac{1}{4x}+\frac{1}{e^{2x}}+\frac{1}{\sqrt{x}{e}^x}={\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{e^x}\right)}^2$. Vậy tích phân $={\int }_1^4\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+e^{-x}\right)dx={\left[\sqrt{x}-e^{-x}\right]}_1^4=(2-e^{-4})-(1-e^{-1})=1+e^{-1}-e^{-4}$. Suy ra $a=1,b=-1,c=-4$, nên $T=abc=1\cdot (-1)\cdot (-4)=4$. Đáp án B.