Biết ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha +2=0$ $(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$. Tính $P=\sqrt{3}\tan \alpha +\sqrt{3}\cot \alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: phương trình ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha +2=0$ phân tích thành $(\sin \alpha -1{)}^2(\sin \alpha +2)=0$ nên chỉ cho $\sin \alpha =1$, tức $\alpha =90^{\circ }$, ngoài khoảng $(0^{\circ };90^{\circ })$. Do đó đề in thiếu thừa số ${\cos }^2\alpha$; dạng chuẩn (phù hợp đáp số 4) là ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha {\cos }^2\alpha +2\sin \alpha =0$.

Giải: $\sin \alpha ({\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2)=0$. Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha \ne 0$, do đó ${\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2=0$. Dùng ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$: $1-{\cos }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2=0\Rightarrow 3-4{\cos }^2\alpha =0\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{3}{4}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, tức $\alpha =30^{\circ }$.

Khi đó $P=\sqrt{3}\tan 30^{\circ }+\sqrt{3}\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1+3=4$.