Biết ${\int }_{-a}^a\sqrt{1-\frac{x^2}{4a^2}}\text{d}x=2025$ với $a$ là số thực dương. Tìm $a$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Xét tích phân $I={\int }_{-a}^a\sqrt{1-\frac{x^2}{4a^2}}\text{d}x$.
Đặt $x=2a\sin t\Rightarrow \text{d}x=2a\cos t\text{d}t$.
Khi $x=-a\Rightarrow \sin t=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{6}$.
Khi $x=a\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.
Khi đó:
$I={\int }_{-\pi /6}^{\pi /6}\sqrt{1-{\sin }^{2}t}\cdot (2a\cos t)\text{d}t=2a{\int }_{-\pi /6}^{\pi /6}{\cos }^{2}t\text{d}t=2a{\int }_{-\pi /6}^{\pi /6}\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t=a{\left[t+\frac{\sin 2t}{2}\right]}_{-\pi /6}^{\pi /6}=a\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$
Theo bài ra: $a\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2025\Rightarrow a=\frac{2025}{\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \frac{2025}{1,0472+0,8660}=\frac{2025}{1,9132}\approx 1058,43\approx 1058$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0017: Kết quả là 1058).