Câu 102. Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+1}{bx+c}$ $(a,b,c\in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$||$	$+$
$f(x)$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$
			$-\infty$	$\nearrow$	$1$

Trong các số $a,b$ và $c$ có bao nhiêu số dương?

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2b+c=0$, tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1$, tức $a=b$, $c=-2b$. Khi đó $f(x)=\frac{bx+1}{b(x-2)}$.

Xét giới hạn khi $x\to 2^{-}$ phải bằng $+\infty$: khi $x\to 2^{-}$ thì $x-2\to 0^{-}$, nên mẫu số $b(x-2)\to 0$ với dấu là dấu của $-b$.

Trường hợp $b>0$: mẫu số $\to 0^{-}$, để thương $\to +\infty$ cần tử số $2b+1<0$, vô lý vì $b>0$. Loại.

Trường hợp $b<0$: mẫu số $\to 0^{+}$, để thương $\to +\infty$ cần tử số $2b+1>0$, tức $b>-\frac{1}{2}$. Kết hợp $b<0$ ta được $-\frac{1}{2}<b<0$ (thỏa mãn).

Vậy $a=b<0$ và $c=-2b>0$. Trong ba số $a,b,c$ có đúng $1$ số dương (số $c$).