Cho hàm số $y=x\ln x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x\ln x$ xác định trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\ln x+1$. $y^{\prime }=0\iff x=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Với $x\in (0;\frac{1}{e})$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;\frac{1}{e})$; với $x\in (\frac{1}{e};+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(\frac{1}{e};+\infty )$. Do đó: A sai (hàm không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$); B sai (hàm nghịch biến trên $(0;\frac{1}{e})$, không phải $(0;1)$); C sai; D đúng vì $(1;+\infty )\subset (\frac{1}{e};+\infty )$ nên hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$.