Câu 2 (2,0 điểm): Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là trọng tâm $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=a$. Tính theo $a$

a) thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

a) Do hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là trọng tâm $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, nên $A{G}^{\prime }$ là đường cao hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Ta có $S_{\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}.a.a.\sin 60^o=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$A^{\prime }H=\frac{a\sqrt{3}}{2},A^{\prime }{G}^{\prime }=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$; $A{G}^{\prime }=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A^{\prime }{G}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

$$V=A{G}^{\prime }.S_{\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$$

b) Gọi $H$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$, vì tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác đều nên $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$, $A{G}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $A{G}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$) suy ra $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }H)$. Trong $(A{A}^{\prime }H)$ dựng $HI\perp A{A}^{\prime }$ ($I\in A{A}^{\prime }$). Khi đó $HI$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Do đó $d\left(A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }\right)=HI$.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác $A{A}^{\prime }H$ ta có:

$$\frac{1}{2}A{G}^{\prime }.A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }.HI\Rightarrow HI=\frac{A{G}^{\prime }.A^{\prime }H}{A{A}^{\prime }}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.