Câu 5. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a;b)$ thỏa mãn: $10(a^2+b^2-ab)-{\left[{\log }_3(a+b-1)\right]}^2\ge a^3+b^3-4$?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $45$.

Theo lời giải chi tiết trang 23–26: Đặt $u=a+b\ge 2$ và $v=a^2+b^2-ab\ge 1$, bất phương trình trở thành $(10-u)v\ge {\left[{\log }_3(u-1)\right]}^2-4$. Với $u>10$ bất phương trình vô nghiệm; với mọi $2\le u\le 10$, tất cả các cặp nguyên dương $(a;b)$ có $a+b=u$ đều thỏa mãn, nên số cặp là ${\sum }_{u=2}^{10}(u-1)=\frac{9\cdot 10}{2}=45$.