Câu 5: Hai kỳ thủ có trình độ ngang nhau bước vào trận chung kết của một giải cờ tướng. Người giành chức vô địch là người đầu tiên thắng được $5$ ván. Tại thời điểm người thứ nhất đã thắng $3$ ván và người thứ hai thắng $2$ ván, xác suất để người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc là $P=\frac{a}{b}$ ($a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $a,b$ nguyên tố cùng nhau). Tính $6a+8b+1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 5 (Phần III, câu 21) có đáp số là $195$.

Hai kỳ thủ ngang sức nên xác suất mỗi người thắng ở mỗi ván là $p=\frac{1}{2}$ (giả sử không có ván hòa hoặc các ván hòa được chơi lại).

Người thứ nhất đã thắng 3 ván, cần thắng thêm 2 ván nữa để đạt 5 ván thắng.
Người thứ hai đã thắng 2 ván, cần thắng thêm 3 ván nữa để đạt 5 ván thắng.
Số ván tối đa còn phải đấu là $(2-1)+(3-1)+1=4$ ván.

Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc trong các trường hợp sau:
- Thắng sau 2 ván tiếp theo (thắng cả 2): xác suất là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.
- Thắng sau 3 ván tiếp theo (trong 2 ván đầu thắng 1, thua 1 và ván thứ 3 thắng): xác suất là $C_2^1{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
- Thắng sau 4 ván tiếp theo (trong 3 ván đầu thắng 1, thua 2 và ván thứ 4 thắng): xác suất là $C_3^1{\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{3}{16}$.

Tổng xác suất để người thứ nhất vô địch là:
$P=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16}=\frac{4+4+3}{16}=\frac{11}{16}.$

Vì $\frac{11}{16}$ là phân số tối giản nên $a=11$ và $b=16$.
Giá trị biểu thức cần tính là:
$6a+8b+1=6\cdot 11+8\cdot 16+1=66+128+1=195.$

Đáp số: 195.