Câu 4: Bác An cần làm cửa sổ cho ngôi nhà mới, cửa sổ có hình dạng phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là $6\text{ m}$ ($6\text{ m}$ chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt, xem hình minh hoạ). Gọi $x$ là bán kính của hình bán nguyệt. Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $1,5{\text{ m}}^2$ thì $x\in [x_1;x_2]$. Tính $x_1\cdot x_2$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 4 (Phần III, câu 20) có đáp số là $0.42$.

Gọi $x$ là bán kính hình bán nguyệt ($x>0$), khi đó chiều rộng hình chữ nhật là $2x$. Gọi $h$ là chiều cao của hình chữ nhật ($h>0$).

Chu vi của cửa sổ là:
$P=2x+2h+\pi x=6⟹2h=6-(\pi +2)x⟹h=3-\left(1+\frac{\pi }{2}\right)x.$

Diện tích toàn bộ cửa sổ gồm diện tích hình chữ nhật $S_2=2xh$ và diện tích nửa hình tròn $S_1=\frac{1}{2}\pi x^2$:
$S=2xh+\frac{1}{2}\pi x^2=2x\left[3-\left(1+\frac{\pi }{2}\right)x\right]+\frac{1}{2}\pi x^2=6x-\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2.$

Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $1,5{\text{ m}}^2$:
$S\ge 1,5⟺\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2-6x+1,5\le 0.$

Tam thức bậc hai $g(x)=\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2-6x+1,5$ có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=9-1,5\left(2+\frac{\pi }{2}\right)=6-\frac{3\pi }{4}>0$, nên có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $x\in [x_1;x_2]$.
Theo định lý Viète:
$x_1\cdot x_2=\frac{1,5}{2+\frac{\pi }{2}}=\frac{3}{4+\pi }\approx \frac{3}{7,14159}\approx 0,42007\approx 0,42.$

Đáp số: 0,42.