Câu 3: Lát cắt ngang của một vùng đất ven biển được mô hình hoá thành một hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ, đơn vị độ dài trên các trục là km. Biết khoảng cách hai bên chân đồi $OA=2\text{ km}$, độ cao của ngọn đồi là $528\text{ m}$ và độ rộng của hồ $AB=1\text{ km}$. Tìm độ sâu của hồ tại vị trí sâu nhất theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $158$.

Hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $d=0$.
Đồ thị cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$ và $B(3;0)$, nên phương trình có dạng:
$f(x)=ax(x-2)(x-3)=a(x^3-5x^2+6x).$

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$.
Điểm cực đại thuộc khoảng $(0;2)$ ứng với $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,785$.
Tại điểm cực đại, độ cao ngọn đồi là $528\text{ m}=0,528\text{ km}$, do đó:
$f(x_1)=0,528⟹a\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)=0,528⟹a\approx 0,25096.$

Điểm cực tiểu thuộc khoảng $(2;3)$ ứng với $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,549$.
Giá trị cực tiểu của hàm số:
$y_{\text{CT}}=f(x_2)=a\cdot x_2(x_2-2)(x_2-3)\approx 0,25096\cdot 2,549\cdot 0,549\cdot (-0,451)\approx -0,1583\text{ km}=-158,3\text{ m}.$

Độ sâu của hồ tại vị trí sâu nhất là $|y_{\text{CT}}|\approx 158\text{ m}$.

Đáp số: 158.