Câu 6. (2 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ u_{n+1}=\frac{u_n\left(u_n^2+3\right)}{3u_n^2+1}\end{array},\forall n\ge 1.$$ Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Ta chứng minh $u_n>1$, $\forall n\ge 1$ bằng quy nạp. Dễ thấy $u_1=2025>1$.

Giả sử $u_k>1$, $\forall k\ge 1$.

Ta thấy $u_{k+1}-1=\frac{u_k\left(u_k^2+3\right)}{3u_k^2+1}-1=\frac{{\left(u_k-1\right)}^3}{3u_k^2+1}>0\Rightarrow u_{k+1}>1$. Suy ra $u_n>1$, $\forall n\ge 1$.

Mặt khác $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n\left(u_n^2+3\right)}{3u_n^2+1}-u_n=\frac{2u_n\left(1-u_n^2\right)}{3u_n^2+1}<0,\forall n\ge 1$ nên $(u_n)$ là dãy số giảm.

Dãy $(u_n)$ giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.

Đặt ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=x(x\ge 1)$. Khi đó $x=\frac{x\left(x^2+3\right)}{3x^2+1}\iff x=1$ do $x\ge 1$.

Vậy ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=1$