Câu 6. Một trường THPT X có $12$ học sinh đạt giải học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2026. Trong đó học sinh giỏi môn Toán có $3$ nữ và $5$ nam, học sinh giỏi môn Vật lý thì có $4$ nam. Lãnh đạo trường chọn ngẫu nhiên ra $3$ học sinh để dự lễ tuyên dương. Tính xác suất để chọn ra được $3$ học sinh có đủ hai môn Toán và Vật lý đồng thời phải có học sinh nam và học sinh nữ? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $0,41$.

Tổng số học sinh là $12$, trong đó:
- Toán: 3 nữ, 5 nam.
- Vật lý: 4 nam.
Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 12 học sinh là:
$n(\Omega )=C_{12}^3=220$.

Biến cố $A$: "Chọn 3 học sinh có đủ cả môn Toán và môn Vật lý đồng thời có cả học sinh nam và học sinh nữ".
Vì chỉ có học sinh nữ ở môn Toán (3 nữ), nên số học sinh nữ được chọn chỉ có thể là 1 hoặc 2:
- Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nữ (môn Toán) có $C_3^1$ cách. Để có đủ cả môn Vật lý và học sinh nam, 2 học sinh còn lại được chọn từ nhóm học sinh nam và phải có ít nhất 1 bạn môn Vật lý:
+ Chọn 1 nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: $C_5^1\cdot C_4^1=5\cdot 4=20$ cách.
+ Chọn 2 nam môn Vật lý: $C_4^2=6$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp 1 là: $C_3^1\cdot (20+6)=3\cdot 26=78$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nữ (môn Toán) có $C_3^2$ cách.
Để có đủ môn Vật lý và có học sinh nam, học sinh còn lại bắt buộc phải là 1 nam môn Vật lý: có $C_4^1=4$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp 2 là: $C_3^2\cdot C_4^1=3\cdot 4=12$ cách.

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$n(A)=78+12=90$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{90}{220}=\frac{9}{22}\approx 0,\mathrm{40909...}\approx 0,41$.