Chị Lan chuẩn bị mua nhà trị giá 1 tỷ đồng. Chị Lan thực hiện việc tiết kiệm bằng cách mỗi tháng gửi đều đặn vào ngân hàng 20 triệu đồng/tháng. Biết rằng trong thời gian chị Lan gửi tiền thì ngân hàng áp dụng mức lãi suất $0,6\%$ tháng và chị Lan không rút lãi lần nào. Hỏi chị Lan phải gửi tối thiểu bao nhiêu tháng để có được số tiền 1 tỷ đồng bao gồm cả tiền gốc và tiền lãi?

Chị Lan hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền như nhau là $A$ đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất $r\%$ một tháng.

Cuối tháng thứ 1, chị Lan có số tiền là: $P_1=A+A.r=A(1+r)$

Đầu tháng thứ 2, chị Lan có số tiền là:
$P_1+A=A(1+r)+A=A+A(1+r)=A\left[1+(1+r)\right]$

Cuối tháng thứ 2, chị Lan có số tiền là:
$P_2=P_1+P_1.r=A+A(1+r)+\left[A+A(1+r)\right].r=A\left[(1+r{)}^2+(1+r)\right]$

Đầu tháng thứ 3, chị Lan có số tiền là:
$P_2+A=A\left[(1+r)+(1+r{)}^2\right]+A=A\left[1+(1+r)+(1+r{)}^2\right]$

Cuối tháng thứ 3, chị Lan có số tiền là:
$P_3=P_2+P_2.r=A\left[1+(1+r)+(1+r{)}^2\right]+A\left[1+(1+r)+(1+r{)}^2\right].r=A\left[(1+r{)}^3+(1+r{)}^2+(1+r)\right]$

……………………

Cuối tháng thứ n, chị Lan có số tiền là:

$$P_n=A\left[\underset{S_n}{\underbrace{(1+r{)}^n+(1+r{)}^{n-1}+(1+r{)}^{n-2}+....+(1+r{)}^2+(1+r)}}\right]$$

$$\iff P_n=A(1+r)\frac{(1+r{)}^n-1}{r}$$

trong đó $A=20$ (triệu đồng), $r=0,6\%$ và $n$ là số tháng gửi.

Theo giả thiết $P_n=10^9\iff A(1+r)\frac{(1+r{)}^n-1}{r}=10^9\iff (1+r{)}^n=\frac{10^{9}r}{A(1+r)}+1$

$$\iff n={\log }_{1+r}\left(\frac{10^{9}r}{A(1+r)}+1\right)={\log }_{1+0,006}\left(\frac{10^9.0,006}{20.10^6.(1+0,006)}+1\right)\approx 43,63.$$

Vì n nguyên dương nên $n=44$.

Vậy phải gửi tối thiểu 44 tháng thì chị Lan mới có được số tiền 1 tỷ đồng.