Cho 2 chất điểm $A$ và $B$ cùng bắt đầu chuyển động theo chiều dương trên cùng 1 trục lần lượt có vận tốc biến đổi theo thời gian là hàm số đa thức bậc 2 và hàm số đa thức bậc 3 gồm $v=v_1(t)$ (m/s), $v=v_2(t)$ (m/s) có đồ thị như hình vẽ.



Hỏi trong suốt quá trình chuyển động, 2 chất điểm gặp nhau bao nhiêu lần, biết rằng chất điểm $A$ bắt đầu xuất phát cách gốc của trục về phía chiều dương 1 mét, chất điểm $B$ xuất phát tại gốc của trục, và trong quá trình chuyển động, 2 chất điểm đã gặp nhau một lần tại thời điểm 3 giây?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 49 chọn đáp án C.



Gọi hàm số biểu thị quãng đường chuyển động của hai chất điểm $A$ và $B$ lần lượt là $S=S_1(t)$ và $S=S_2(t)$.
Theo giả thiết:
$S_1(0)=1,S_2(0)=0,S_1(3)=S_2(3),$
$S_1^{\prime }(t)=v_1(t),S_2^{\prime }(t)=v_2(t).$
Hai chất điểm gặp nhau khi và chỉ khi:
$S_1(t)=S_2(t)⟺S_1(t)-S_2(t)=0.$
Xét hàm số $f(t)=S_1(t)-S_2(t)$ với $t\ge 0$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(t)=S_1^{\prime }(t)-S_2^{\prime }(t)=v_1(t)-v_2(t)$.
Từ đồ thị của hai hàm số vận tốc, hai đường cong $v_1(t)$ và $v_2(t)$ cắt nhau tại các thời điểm $t=0,t=2,t=4$.
Do đó $f^{\prime }(t)=0⟺t\in \{0;2;4\}$.
- Trên khoảng $(0;2)$: đồ thị $v_1(t)$ nằm phía dưới $v_2(t)$ nên $f^{\prime }(t)<0$.
- Trên khoảng $(2;4)$: đồ thị $v_1(t)$ nằm phía trên $v_2(t)$ nên $f^{\prime }(t)>0$.
- Trên khoảng $(4;+\infty )$: đồ thị $v_1(t)$ nằm phía dưới $v_2(t)$ nên $f^{\prime }(t)<0$.
Ta có bảng biến thiên của $f(t)$:
- Tại $t=0$: $f(0)=S_1(0)-S_2(0)=1>0$.
- Hàm số giảm từ $f(0)=1$ xuống cực tiểu $f(2)<0$ (vì $f(3)=0$ và trên $[2;4]$ hàm số tăng từ $f(2)$ lên $f(4)$, mà $f(3)=0$ nên $f(2)<f(3)=0$).
- Hàm số tăng từ $f(2)<0$ qua $f(3)=0$ lên cực đại $f(4)>0$.
- Khi $t>4$, hàm số giảm từ $f(4)>0$ về $-\infty$.
Do đó đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị $y=f(t)$ tại đúng 3 điểm phân biệt:
1. Một điểm thuộc khoảng $(0;2)$.
2. Điểm $t=3\in (2;4)$.
3. Một điểm thuộc khoảng $(4;+\infty )$.
Vậy trong suốt quá trình chuyển động, 2 chất điểm gặp nhau 3 lần.

Chọn đáp án C.