Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ lớn hơn 1 thỏa mãn $(x{y}^2+x-2y-1)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}$?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 50 chọn đáp án B.



Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}y>1,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\\ \frac{2y-x+3}{x}>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}y>1,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\\ 2y-x+3>0\end{array}.$
Phương trình đã cho tương đương với:
$(x{y}^2+x-2y-1)\log y=\log (2y-x+3)-\log x$
$⟺(x{y}^2+x-2y-3)\log y+2\log y=\log (2y-x+3)-\log x$
$⟺(x{y}^2-(2y-x+3))\log y=\log (2y-x+3)-\log (x{y}^2)(1).$
Xét tính chất:
- Nếu $x{y}^2>2y-x+3$, vì $y>1\Rightarrow \log y>0$ nên vế trái của (1) mang dấu dương, trong khi vế phải mang dấu âm (mâu thuẫn).
- Nếu $x{y}^2<2y-x+3$, tương tự vế trái mang dấu âm, vế phải mang dấu dương (mâu thuẫn).
Do đó từ (1) bắt buộc phải có:
$x{y}^2=2y-x+3⟺x(y^2+1)=2y+3⟺x=\frac{2y+3}{y^2+1}.$
Xét hàm số $g(y)=\frac{2y+3}{y^2+1}$ trên $(1;+\infty )$:
$g^{\prime }(y)=\frac{2(y^2+1)-2y(2y+3)}{(y^2+1{)}^2}=\frac{-2y^2-6y+2}{(y^2+1{)}^2}=\frac{-2(y^2+3y-1)}{(y^2+1{)}^2}.$
Với mọi $y>1$, ta có $y^2+3y-1>1+3-1=3>0\Rightarrow g^{\prime }(y)<0$.
Do đó hàm số $g(y)$ nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
Suy ra:
$g(y)<g(1)=\frac{2(1)+3}{1^2+1}=\frac{5}{2}=\mathrm{2.5.}$
Mặt khác khi $y\to +\infty$, $g(y)\to 0$. Do đó $0<x<\frac{5}{2}$.
Vì $x$ là số nguyên dương ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) nên $x\in \{1;2\}$.
Vậy có đúng 2 giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án B.