Cho $a,b>1$ và biểu thức $a^{{\log }_b{a}^4}+32b^{{\log }_a\left(\frac{b^2}{a^6}\right)}\le 6$. Khi đó giá trị của $P=a^4+b^2$ bằng

Chọn D.
Đặt $x={\log }_{b}a>0$. Ta có:
$a^{{\log }_b{a}^4}=a^{4{\log }_{b}a}=(b^{{\log }_{b}a}{)}^{4{\log }_{b}a}=b^{4({\log }_{b}a{)}^2}=b^{4x^2}$.
Biểu thức thứ hai: ${\log }_a\left(\frac{b^2}{a^6}\right)=2{\log }_{a}b-6=\frac{2}{x}-6$.
Do đó $b^{{\log }_a(b^2/a^6)}=b^{\frac{2}{x}-6}$.
Áp dụng bất đẳng thức và điều kiện xảy ra dấu bằng ta tìm được $a^4=16,b^2=16$, do đó $P=a^4+b^2=16+16=32$.