Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc khoảng $(0;1)$, với $a^x=bc,b^y=ca,c^z=ab$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y+9z$.

Từ $a^x=bc\Rightarrow a^{x+1}=abc\Rightarrow x+1={\log }_a(abc)\Rightarrow \frac{1}{x+1}={\log }_{abc}a$.
Tương tự, $b^y=ca\Rightarrow b^{y+1}=abc\Rightarrow \frac{1}{y+1}={\log }_{abc}b$, và $c^z=ab\Rightarrow c^{z+1}=abc\Rightarrow \frac{1}{z+1}={\log }_{abc}c$.
Cộng lại ta được $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}={\log }_{abc}(abc)=1$.
Đặt $X=x+1>1,Y=y+1>1,Z=z+1>1$. Khi đó $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}=1$.
Biểu thức $P=x+y+9z=(X-1)+(Y-1)+9(Z-1)=X+Y+9Z-11$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$(X+Y+9Z)\left(\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}\right)\ge (1+1+3{)}^2=25$.
Do $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}=1$ nên $X+Y+9Z\ge 25$.
Suy ra $P=X+Y+9Z-11\ge 25-11=14$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $X=Y=3Z=5>1$, tức là $x=y=4$ và $z=\frac{2}{3}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $14$. Vậy chọn C.