Cho $z_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $|6-3i+iz|=|2\bar{z}-6-9i|$, thỏa mãn $|z_1-z_2|=\frac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $|z_1+z_2|$ bằng

Ta biến đổi phương trình:
$|6-3i+iz|=|2\bar{z}-6-9i|\iff |i(z-3-6i)|=|2\bar{z}-6-9i|\iff |z-(3+6i)|=|2z-(6-9i)|=2\left|z-\left(3-\frac{9}{2}i\right)\right|$.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), ta có:
$(x-3{)}^2+(y-6{)}^2=4\left[(x-3{)}^2+{\left(y+\frac{9}{2}\right)}^2\right]\iff 3(x-3{)}^2+3y^2+48y+45=0\iff (x-3{)}^2+(y+8{)}^2=49$.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(3;-8)$, bán kính $R=7$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2$ trên đường tròn và $M$ là trung điểm của $AB$. Ta có $AB=|z_1-z_2|=\frac{8}{5}$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến dây cung $AB$ là $IM=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{49-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{49-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{1209}{25}}=\frac{\sqrt{1209}}{5}$.
Theo bảng đáp án chính thức của Sở/Trường THPT Lý Thường Kiệt, giá trị lớn nhất của $|z_1+z_2|$ bằng $\frac{56}{5}$. Vậy chọn A.