Cho biểu thức $D=\sin \left(\frac{5\pi }{2}-\alpha \right)+\cos (13\pi +\alpha )-3\sin (\alpha -5\pi )$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $\sin \left(\frac{5\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$; $\cos (13\pi +\alpha )=\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$; $\sin (\alpha -5\pi )=\sin (\alpha -\pi )=-\sin \alpha$ nên $-3\sin (\alpha -5\pi )=3\sin \alpha$. Vậy $D=\cos \alpha -\cos \alpha +3\sin \alpha =3\sin \alpha$.

a) Đúng: $D=3\sin \alpha$.

b) Với $\tan \alpha =2$, $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (góc phần ba), $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}$. Khi đó $D=3\cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{6\sqrt{5}}{5}$, âm chứ không dương $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ → Sai.

c) Nếu $D=3\cos x$ (tức $3\sin \alpha =3\cos \alpha$) thì $\sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$. Giá trị âm lớn nhất là $\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}$ → Đúng.

d) $D=1\Rightarrow \sin x=\frac{1}{3}$, suy ra ${\cos }^{2}x=\frac{8}{9}$, ${\tan }^{2}x=\frac{1}{8}$. Đặt $t=\tan x$: $M=\frac{t-3/t^3}{5t^3-2/t^3}=\frac{t^4-3}{5t^6-2}$. Với $t^2=\frac{1}{8}$: $t^4=\frac{1}{64}$, $t^6=\frac{1}{512}$, nên $M=\frac{\frac{1}{64}-3}{\frac{5}{512}-2}=\frac{-191/64}{-1023/512}=\frac{1528}{1023}\approx 1,494\ne \frac{7}{32}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
D = cosα − cosα + 3sinα = 3sinα.
b) (AI giải đề cho tôi)
α ở góc phần ba nên sinα = −2/√5, D = −6√5/5 (âm), không phải +6√5/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
3sinα = 3cosα ⇒ α = π/4 + kπ; giá trị âm lớn nhất là −3π/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin x = 1/3 ⇒ tan²x = 1/8; M = (t⁴−3)/(5t⁶−2) = 1528/1023 ≈ 1,494 ≠ 7/32.