Cho biểu thức $f(x)=x^2-(m-1)x+m+2;g(x)=3x-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-(m-1)x+m+2$.

a) $f(1)=1-(m-1)+m+2=4>0$, nên $x=1$ thỏa $f(x)\ge 0$ với mọi $m$. Đúng.

b) $f(x)=0$ có nghiệm $\iff \Delta =(m-1{)}^2-4(m+2)=m^2-6m-7\ge 0\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 7$. Điều kiện $m\ge 7$ chỉ là một phần, thiếu $m\le -1$. Sai.

c) Với $m=-2$: $f(x)=x^2+3x$. Phương trình $\sqrt{x^2+3x}=3x-5$ cần $3x-5\ge 0$. Bình phương: $x^2+3x=9x^2-30x+25\iff 8x^2-33x+25=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{25}{8}$. Với $x=1$: $3x-5=-2<0$ (loại); với $x=\frac{25}{8}$: thỏa mãn. Vậy chỉ có 1 nghiệm, không phải hai nghiệm phân biệt. Sai.

d) Mẫu $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x$, nên cần $f(x)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff \Delta =m^2-6m-7\le 0\iff -1\le m\le 7$. Các giá trị nguyên: $-1,0,1,2,3,4,5,6,7$ — có 9 giá trị, không phải 8. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=1-(m-1)+m+2=4>0$, nên $x=1$ là nghiệm của $f(x)\ge 0$ với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =m^2-6m-7\ge 0\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 7$; khẳng định thiếu nhánh $m\le -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-2$: $8x^2-33x+25=0$ cho $x=1$ (loại vì $3x-5<0$) và $x=25/8$ (thỏa). Chỉ có 1 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\Delta \le 0\iff -1\le m\le 7$, có 9 giá trị nguyên, không phải 8.