Cho các hàm số sau $f(x)=\sin x$ và $g(x)=\cos 2x$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\sin x$ và $g(x)=\cos 2x$.
a) $g(x)=\cos 2x$ là hàm số chẵn ($g(-x)=\cos (-2x)=\cos 2x=g(x)$), nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\cos x>0$ với mọi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nên $f(x)=\sin x$ đồng biến trên khoảng này. Đúng.
c) $f(x)=g(x)\iff \sin x=\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ hoặc $\sin x=-1$. Với $x\in (0;\pi )$: $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}$; $\sin x=-1$ vô nghiệm. Vậy đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc $(0;\pi )$. Đúng.
d) Nghiệm dương nhỏ nhất của $\sin x=\cos 2x$ là $x=\frac{\pi }{6}$; nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{2}$ (vì $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$). Tổng $\frac{\pi }{6}+\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{3}\ne -\frac{\pi }{6}$. Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\cos x>0$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos 2x\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff \sin x=\frac{1}{2}$ hoặc $\sin x=-1$. Trên $(0;\pi )$ có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6},x=\frac{5\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{6}$, nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{2}$; tổng bằng $-\frac{\pi }{3}\ne -\frac{\pi }{6}$.