Cho các hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ với $a,b,c$ là ba số thực dương khác 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f2]

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mọi hàm $y={\log }_{t}x$ đều đi qua $(1;0)$. b) Sai: từ đồ thị $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. c) Đúng: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$ đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm trên $y={\log }_{b}x$ nên $a<b$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$. d) Đúng: với $x=k>1$, $AM={\log }_{a}k>0$, $AN={\log }_{c}k<0$ nên $AM=2AN\iff {\log }_{a}k=-2{\log }_{c}k\iff \frac{\ln k}{\ln a}=\frac{-2\ln k}{\ln c}\iff \ln c=-2\ln a\iff c=a^{-2}\iff a\sqrt{c}=1$. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{t}1=0$ với mọi cơ số $t>0$, $t\ne 1$, nên cả ba đồ thị đều đi qua $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$; hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$, ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$ nên $a<b$. Đường $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=k>1$: $AM={\log }_{a}k$, $AN={\log }_{c}k<0$. Điều kiện $AM=2AN$ (theo độ dài, $AM=2|AN|$) cho $\frac{\ln k}{\ln a}=-\frac{2\ln k}{\ln c}\Rightarrow \ln c=-2\ln a\Rightarrow c=a^{-2}\Rightarrow a\sqrt{c}=1$.