Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, có cạnh bằng $a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√2), O(a/2;a/2;0), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0). a) BD ⊥ AC (tính chất hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC): Đúng. b) EF có VTCP (1;1;0), SO có VTCP (a/2; a/2; −a√2); tích vô hướng = a²/2 ≠ 0 nên EF không vuông góc SO: Sai. c) SC có VTCP (a; a; −a√2), EF có VTCP (1;1;0): cos = a/( (a√2)(2a) )·... tính: tích vô hướng = a, |SC| = 2a, |EF| = a/√2, cos = a/(2a·a/√2) = √2/2 → góc 45°: Đúng. d) VTPT (SEF): n = EF×ES với EF=(a/2;a/2;0), ES=(−a/2;0;a√2) cho n ∝ (2√2; −2√2; 1). SA có VTCP (0;0;1). sinθ = 1/√17, nên tanθ = 1/4: Đúng. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc giữa EF và SO bằng góc giữa AC và SO. Tam giác SAC cân tại A (SA = AC = a√2? thực tế SA = a√2, AC = a√2) có SO là trung tuyến, nhưng AC không vuông góc SO (tam giác SAC cân tại A, SO là đường trung tuyến từ S... SO không vuông AC vì tam giác SOC không vuông tại O: OC = a√2/2, SC = 2a, SC² = 4a² ≠ OC² + SO² = a²/2 + 2a² = 5a²/2). Vậy EF không vuông góc SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc(EF, SC) = góc(AC, SC). Trong tam giác SAC: SA = AC = a√2, SC = 2a, cos∠ACS = (AC² + SC² − SA²)/(2·AC·SC) = (2a² + 4a² − 2a²)/(2·a√2·2a) = 4a²/(4a²√2) = √2/2 → góc = 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a√2), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0): VTPT của (SEF) là n ∝ (2√2; −2√2; 1), VTCP của SA là (0;0;1). sinθ = 1/√(8+8+1) = 1/√17, suy ra tanθ = 1/4.