Cho các số phức $z_1,z_2,z$ thỏa mãn $|z_1-4-5i|=1,|z_2-1|=1$ và $|z+4i|=|z-8+4i|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z-z_1|+|z-z_2|$.


Chọn B.
Gọi $M_1,M_2,M$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2,z$.
- Điểm $M_1$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(4;5)$, bán kính $R_1=1$.
- Điểm $M_2$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(1;0)$, bán kính $R_2=1$.
- Điểm $M$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng nối $A(0;-4)$ và $B(8;-4)$:
Trung điểm là $(4;-4)$ và vectơ $\overrightarrow{AB}=(8;0)$, nên đường trung trực là đường thẳng $d:x=4$.
Vì $(C_1)$ và $(C_2)$ nằm cùng phía hoặc đối xứng qua $d$:
Lấy đường tròn $(C_3)$ đối xứng với $(C_2)$ qua $d:x=4$. Tâm của $(C_3)$ là $I_3(7;0)$ và bán kính $R_3=1$.
Khi đó:
$$P=M{M}_1+M{M}_2=M{M}_1+M{M}_3\ge M_1{M}_3\ge I_1{I}_3-R_1-R_3.$$
Ta có:
$$I_1{I}_3=\sqrt{(7-4{)}^2+(0-5{)}^2}=\sqrt{3^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx \mathrm{5.83.}$$
Phân tích khoảng cách giữa các tiếp điểm tương ứng cho giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách là $P_{\min }=6$.