Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$ và $u_1>0$. Điều kiện của $q$ để cấp số nhân $(u_n)$ có ba số hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác là:

Giả sử ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là $a,aq,a{q}^2$ với $a>0,q>0$.

Ba số này là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh còn lại:
$\{\begin{array}{rl}& a+aq>a{q}^2\\ & a+a{q}^2>aq\\ & aq+a{q}^2>a\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& q^2-q-1<0\\ & q^2-q+1>0(\text{luoˆn đuˊng})\\ & q^2+q-1>0\end{array}$

Giải hệ bất phương trình với $q>0$:
1) $q^2-q-1<0\iff \frac{1-\sqrt{5}}{2}<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Vì $q>0$ nên $0<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
2) $q^2+q-1>0\iff q>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (do $q>0$).

Kết hợp lại ta được:
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$