Giá trị của $m$ làm cho phương trình $(m-2)x^2-2mx+m+3=0$ có $2$ nghiệm dương phân biệt là

Phương trình $(m-2)x^2-2mx+m+3=0$ có $2$ nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{rl}& a\ne 0\\ & {\Delta }^{\prime }>0\\ & S>0\\ & P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m-2\ne 0\\ & m^2-(m-2)(m+3)>0\\ & \frac{2m}{m-2}>0\\ & \frac{m+3}{m-2}>0\end{array}$

Giải từng điều kiện:
1) $m\ne 2$.
2) $m^2-(m^2+m-6)=6-m>0\iff m<6$.
3) $\frac{2m}{m-2}>0\iff m<0$ hoặc $m>2$.
4) $\frac{m+3}{m-2}>0\iff m<-3$ hoặc $m>2$.

Kết hợp các điều kiện trên:
- Với $m>2$: $2<m<6$.
- Với $m<2$: để đồng thời $m<0$ và ($m<-3$ hoặc $m>2$) thì $m<-3$.

Vậy giá trị của $m$ là $2<m<6$ hoặc $m<-3$.