Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân: $u_1=3$, $q=\frac{1}{3}$, nên $u_n=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=3^{2-n}$.
a) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{3}{1-1/3}=\frac{9}{2}$. Với $x\ne 1$: $\frac{4x^2-5x+1}{x-1}=\frac{(4x-1)(x-1)}{x-1}=4x-1$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3\ne \frac{9}{2}=S$. Hàm không liên tục tại $x_0=1$ → phát biểu SAI.
b) $3^n{u}_n=3^n\cdot 3^{2-n}=9$, nên ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{3^n{u}_n-5^n}{3\cdot 5^n+1}=\lim \frac{9-5^n}{3\cdot 5^n+1}=\lim \frac{9/5^n-1}{3+1/5^n}=-\frac{1}{5}\ne \frac{1}{3}$ → SAI.
c) $u_n=u_1{q}^{n-1}=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$ → ĐÚNG.
d) $u_1=3$, $u_2=3\cdot \frac{1}{3}=1$, $u_3=\frac{1}{3}$ → ĐÚNG. Khớp đáp án nguồn (1a S, 1b S, 1c D, 1d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{9}{2}$, nhưng ${\lim }_{x\to 1}\frac{4x^2-5x+1}{x-1}=\lim (4x-1)=3\ne \frac{9}{2}$, nên $f$ không liên tục tại $x_0=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$3^n{u}_n=9$ nên giới hạn bằng $\frac{9-5^n}{3\cdot 5^n+1}\to -\frac{1}{5}\ne \frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1{q}^{n-1}=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3$, $u_2=1$, $u_3=\frac{1}{3}$.