Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$, $F$ là giao điểm của $AD$ và $(MNG)$. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN//AB$; mà $AB//CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$, suy ra $MN//(SCD)$.
b) Sai. Vì $MN//AB\subset (ABCD)$ nên $(MNG)\cap (ABCD)$ là đường thẳng qua $G$ song song $AB$; do đó $E\in BC$, $F\in AD$ và $EF//AB//MN$. Tọa hóa với $B(0,0),C(2,0),D(1,2),A(-1,2)$, $G(1,\frac{2}{3})$: đường qua $G$ song song $AB$ (hướng $(-1,2)$) cắt $BC$ tại $E(\frac{4}{3},0)$ và cắt $AD$ tại $F(\frac{1}{3},2)$, nên $EF=\sqrt{5}=AB=2MN$. Tứ giác $MNEF$ là hình thang đáy lớn $EF$ nhưng $EF=2MN\ne \frac{3}{2}MN$ → Sai.
c) Sai. $(SAC)$ chứa $S,AC$; $(SBD)$ chứa $S,BD$; $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên giao tuyến là $SO$, không phải $SC$.
d) Sai. Lấy gốc tọa độ tại $S$: $\overrightarrow{SG}=\frac{\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}}{3}$, với hình bình hành $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}$ nên $\overrightarrow{SG}=\frac{\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SC}}{3}$. Do đó $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{SG}-\overrightarrow{SM}=\frac{\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SC}}{3}-\frac{\overrightarrow{SA}}{2}=\frac{4\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}}{6}$, không tỉ lệ với $\overrightarrow{SC}$ (vì có thành phần $\overrightarrow{SA}$), vậy $MG$ không song song $SC$. Khớp đáp án chính thức Mã 112: 2a Đúng, 2b Sai, 2c Sai, 2d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN//AB//CD\subset (SCD)$ nên $MN//(SCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$EF//AB//MN$ và tọa độ cho $EF=AB=2MN$, không phải $\frac{3}{2}MN$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$ với $O=AC\cap BD$, không phải $SC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc $S$: $\overrightarrow{MG}=\frac{4\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}}{6}$ (do $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}$), không tỉ lệ với $\overrightarrow{SC}$, nên $MG$ không song song $SC$.