Cho dãy số $\{u_n\}$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2026}+u_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Tính: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=u_n+\frac{u_n^2}{2026}$, ta có $u_{n+1}>u_n$ nên dãy tăng. Nếu dãy bị chặn trên thì tồn tại $\lim u_n=\ell \ge 1$ và $\ell =\frac{{\ell }^2}{2026}+\ell \Rightarrow \ell =0$, mâu thuẫn. Vậy $u_n\to +\infty$.

Khai triển:
$$\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n{u}_{n+1}}=\frac{u_n^2/2026}{u_n{u}_{n+1}}=\frac{u_n}{2026u_{n+1}}.$$
Suy ra $\frac{u_n}{u_{n+1}}=2026\left(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}\right)$, tổng telescoping:
$$\sum _{k=1}^n\frac{u_k}{u_{k+1}}=2026\left(\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{n+1}}\right)=2026\left(1-\frac{1}{u_{n+1}}\right).$$
Vì $u_{n+1}\to +\infty$ nên $\frac{1}{u_{n+1}}\to 0$. Kết quả: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_1}{u_2}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=2026$.