Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB$, $SD$. Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SC$ bằng bao nhiêu độ?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$.

Hình chiếu của $A$ trên $SB$: $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{2})$, $|SB{|}^2=3a^2$. Ta có $M=S+t\overrightarrow{SB}$ với $t=\frac{-\vec{S}\cdot \overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{SB}{|}^2}=\frac{2a^2}{3a^2}=\frac{2}{3}$, suy ra $M\left(\frac{2a}{3};0;\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$. Tương tự $N\left(0;\frac{2a}{3};\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{2a}{3};0;\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$ nên $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{2a^2}{3}-\frac{2a^2}{3}=0$; tương tự $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AN}=0$. Vậy $SC\perp AM$ và $SC\perp AN$, mà $AM$, $AN$ cắt nhau tại $A$ trong mặt phẳng $(AMN)$, do đó $SC\perp (AMN)$.

Kết luận: góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(AMN)$ bằng $90^{\circ }$.