Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SD$, $N$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Đường thẳng $MN$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại điểm $I$. Tính tỷ số $\frac{IN}{IM}$. (kết quả viết ở dạng phân số tối giản)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$, với $\vec{b},\vec{d},\vec{s}$ không đồng phẳng. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $SD$), $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}$ (vì $N$ là trọng tâm tam giác $SAB$).

Điểm $I$ trên đường thẳng $MN$ có dạng $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}+t(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}+\frac{t}{6}(-\vec{s}+2\vec{b}-3\vec{d})$.

Vì $I$ thuộc mặt phẳng $(SBC)$ nên $\overrightarrow{AI}=\vec{s}+\alpha (\vec{b}-\vec{s})+\beta (\vec{b}+\vec{d}-\vec{s})=(1-\alpha -\beta )\vec{s}+(\alpha +\beta )\vec{b}+\beta \vec{d}$.

So sánh hệ số theo $\vec{b},\vec{d},\vec{s}$:
- Hệ số $\vec{b}$: $\frac{t}{3}=\alpha +\beta$;
- Hệ số $\vec{d}$: $\frac{1}{2}-\frac{t}{2}=\beta$;
- Hệ số $\vec{s}$: $\frac{1}{2}-\frac{t}{6}=1-\alpha -\beta =1-\frac{t}{3}$.

Phương trình cuối cho $3-t=6-2t\Rightarrow t=3$.

Vậy $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}+3(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})$, tức $N$ nằm giữa $M$ và $I$ với $IN=2MN$, $IM=3MN$. Suy ra $\frac{IN}{IM}=\frac{2}{3}$.