Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$. Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M\left(\frac{1}{2};0;0\right)$, $N\left(1;\frac{1}{2};0\right)$, $P$ là trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $P\left(\frac{1}{2};1;1\right)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{1}{2};1;1\right)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+0=\frac{3}{4}$. Độ dài: $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}=\frac{3}{2}$. Vậy $\cos (MN,AP)=\frac{3/4}{(\sqrt{2}/2)(3/2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, nên góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$ bằng $45^{\circ }$.