Cho đồ thị hai hàm số $y=a^x$ và $y=b^x$ với $a$, $b$ là những số thực dương khác 1 như hình vẽ.



Đường thẳng $y=k$ cắt trục tung tại $H$, cắt đồ thị tại $M,N$ sao cho $M$ nằm giữa $H$ và $N$. Biết $HM=MN$ và $a^2+b^2=20$. Tìm giá trị của $a^4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $y=a^x$ tăng nhanh hơn nên $a>b>1$. Đường thẳng $y=k$ cắt trục tung tại $H(0;k)$, cắt đồ thị $y=a^x$ tại $M(x_M;k)$ và $y=b^x$ tại $N(x_N;k)$. Vì $M$ nằm giữa $H$ và $N$ và $HM=MN$ nên $x_M=k$... chính xác hơn: hoành độ $x_M={\log }_{a}k$, $x_N={\log }_{b}k$, và $x_N=2x_M$ (do $HM=MN$ với $H$ có hoành độ 0). Suy ra ${\log }_{b}k=2{\log }_{a}k$. Đặt $x={\log }_{a}k$, khi đó $k=a^x$ và $k=b^{2x}$ nên $a^x=b^{2x}\Rightarrow a=b^2$. Thay vào $a^2+b^2=20$: $b^4+b^2=20$. Đặt $t=b^2>1$: $t^2+t-20=0\Rightarrow t=4$ (nhận $t>1$). Vậy $b^2=4$, $a=b^2=4$, do đó $a^4=4^4=256$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (256).