Cho đoạn $AB$ và điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.

a) Tìm số $k$ mà $\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{AB}$.

b) Chứng minh với mọi điểm M thì có $\overrightarrow{MI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{MB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Từ $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{IA}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{IB}$, tức $I$ nằm giữa $A$ và $B$ với $\frac{IA}{IB}=\frac{3}{2}$.

a) Ta có $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ (vì $AI:IB=3:2$ nên $AI=\frac{3}{5}AB$). Vậy $k=\frac{3}{5}$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=2\left(-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}\right)+3\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}$. Đúng.

b) Với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right)=\frac{2}{5}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{MB}$. Đpcm.