Cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-t\sqrt{2}\\ z=2+t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\sqrt{2}\\ z=2+mt\end{array}$. Tìm giá trị của $m$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP: $\overrightarrow{u_1}=(1;-\sqrt{2};1)$, $\overrightarrow{u_2}=(1;\sqrt{2};m)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|1-2+m|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+2+m^2}}=\frac{|m-1|}{\sqrt{3}\sqrt{3+m^2}}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Suy ra $4(m-1{)}^2=3(3+m^2)\iff 4m^2-8m+4=9+3m^2\iff m^2-8m-5=0$... kiểm tra lại: thực tế $|m-1|=\sqrt{3+m^2}$ (nhân 2 hai vế: $2|m-1|=\sqrt{3}\sqrt{3+m^2}$, bình phương: $4(m-1{)}^2=3(3+m^2)$). Giải: $4m^2-8m+4=9+3m^2\iff m^2-8m-5=0$ — cần kiểm tra lại phép nhân: $3(3+m^2)=9+3m^2$, đúng. Hmm, nhưng đáp án chuẩn là $m=-1$; kiểm tra trực tiếp: với $m=-1$: $|m-1|=2$, $\sqrt{3}\sqrt{4}=2\sqrt{3}$, $\cos =2/(2\sqrt{3})=1/\sqrt{3}\ne 1/2$. Xem lại: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1-2+m=m-1$, $|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{1+2+1}=2$, $|\overrightarrow{u_2}|=\sqrt{3+m^2}$. Vậy $\cos =\frac{|m-1|}{2\sqrt{3+m^2}}=\frac{1}{2}\iff (m-1{)}^2=3+m^2\iff -2m+1=3\iff m=-1$. (Lần tính đầu nhầm $|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{3}$; đúng là $2$.) Thử $m=1$: $\cos =0$, loại. Vậy $m=-1$.