Cho hai hàm số $u(x)=\frac{x^2+x+2}{x^2-1}$ và $v(x)={\log }_2\left(\frac{x^2+1}{x^2+3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{x^2+1}{x^2+3}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (tử, mẫu đều dương), nên $v(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$. → Sai.

b) $v(-2)={\log }_2\frac{5}{7}<0$ vì $\frac{5}{7}<1$. Xét dấu tử số $x^2(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x+4)$ trên $(-4;3)$: $x+4>0$, $(x-3{)}^3<0$, còn $x^2(x-2{)}^2\ge 0$, nên tử số $\le 0$ (bằng 0 tại $x=0,2$). Chia cho mẫu âm $v(-2)<0$ ta được $g^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-4;3)$, nên $g$ đồng biến trên khoảng này. → Đúng.

c) $u(x)=0\iff x^2+x+2=0$, có $\Delta =1-8=-7<0$: vô nghiệm, đồ thị không cắt trục hoành. → Sai.

d) $u(x)$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm 1$; $v(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi $x\to \pm \infty$: $u(x)=1+\frac{x+3}{x^2-1}\to 1$ và $v(x)={\log }_2\frac{x^2+1}{x^2+3}\to {\log }_{2}1=0$, nên $f(x)\to 1$: đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2+1}{x^2+3}>0$ với mọi $x$, nên tập xác định của $v(x)$ là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(-2)={\log }_2(5/7)<0$. Trên $(-4;3)$: $x+4>0$, $(x-3{)}^3<0$ nên tử số $\le 0$; chia cho mẫu âm được $g^{\prime }(x)\ge 0$, vậy $g$ đồng biến trên $(-4;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+x+2=0$ có $\Delta =-7<0$ vô nghiệm, đồ thị $u(x)$ không cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm 1$; khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên.