Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một khu sinh thái. Trên mô hình minh họa dưới đây, mặt hồ là phần hình phẳng (tô đậm) được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị hàm số $y=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$ (đơn vị đo độ dài trên mỗi trục là 1 km).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3+\frac{9}{4}{x}^2+\frac{15}{16}x+\frac{71}{64}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{9}{2}x+\frac{15}{16}=0\iff x=-\frac{5}{4}$ hoặc $x=-\frac{1}{4}$. Cực đại $D\left(-\frac{5}{4};\frac{3}{2}\right)$, cực tiểu $C\left(-\frac{1}{4};1\right)$ (vì $f\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{-1+9-15+71}{64}=1$). Giao điểm $A$ với trục $Ox$ là nghiệm $x_A\approx -2,0564$ (giải $64x^3+144x^2+60x+71=0$), giao điểm $B$ với trục $Oy$ là $B\left(0;\frac{71}{64}\right)\approx (0;1,1094)$.

a) Diện tích mặt hồ (phần tô đậm): $S={\int }_{x_A}^{0}f(x)dx=-F(x_A)$ với $F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{3x^3}{4}+\frac{15x^2}{32}+\frac{71x}{64}$. Tính toán cho $S\approx 2,3512$ km². Diện tích đảo tròn đường kính $200$ m $=0,2$ km: $\pi (0,1{)}^2\approx 0,0314$ km². Diện tích mặt nước $\approx 2,3512-0,0314\approx 2,32$ km² $\ne 2,22$ km² → Sai.

b) $AOB=OA+OB\approx 2,0564+1,1094\approx 3,17\approx 3,2$ km $\ne 3,3$ km → Sai.

c) $C$ có tung độ $1$, đường lớn $y=2$, đường $CE$ theo phương trục tung nên $CE=2-1=1$ km → Đúng.

d) Khoảng cách theo phương trục $Oy$ từ điểm $(x;0)$ trên bờ $Ox$ đến bờ đối diện (cung cong) là $f(x)$, lớn nhất trên $[x_A;0]$ tại điểm cực đại $x=-\frac{5}{4}=-1,25$, tức điểm cách $O$ đúng $1,25$ km → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng $\approx 2,3512$ km², trừ diện tích đảo $\pi (0,1{)}^2\approx 0,0314$ km², mặt nước $\approx 2,32$ km², không phải 2,22 km².
b) (AI giải đề cho tôi)
$OA\approx 2,0564$ km, $OB=\frac{71}{64}\approx 1,1094$ km, tổng $\approx 3,2$ km, không phải 3,3 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C\left(-\frac{1}{4};1\right)$ là điểm cực tiểu nên $CE=2-1=1$ km.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách thẳng đứng đến bờ đối diện là $f(x)$, đạt max tại $x=-\frac{5}{4}=-1,25$ km (điểm cực đại $D$ có tung độ $1,5$).