Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng .
Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là và .
b)
Mặt phẳng đi qua , cắt các trục , , lần lượt tại các điểm sao cho tam giác nhận làm trực tâm. Phương trình mặt phẳng là: .
c)
Điểm thuộc mặt phẳng .
d)
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng .
Đáp án chính thức: a:Đ,b:Đ,c:S,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Pháp tuyến của (α) là n=(2;-1;3). Kiểm tra: u·n=(-2)(2)+(-1)(-1)+1·3=-4+1+3=0; v·n=0·2+3·(-1)+1·3=0. Cả hai vectơ đều vuông góc với n nên là cặp vectơ chỉ phương của (α) → đúng.
b) Mặt phẳng (Q): x+2y+3z-14=0 đi qua M vì 1+4+9-14=0. Giao với các trục: A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3). Kiểm tra trực tâm: MA=(13;-2;-3), BC=(0;-7;14/3), MA·BC=14-14=0; MB=(-1;5;-3), AC=(-14;0;14/3), MB·AC=14-14=0. M nằm trên hai đường cao nên là trực tâm tam giác ABC → đúng. (Có thể kiểm tra lại bằng cách tìm tổng quát: mặt phẳng x/a+y/b+z/c=1 có M làm trực tâm khi a=3c, 2b=3c, kết hợp qua M cho đúng phương trình x+2y+3z-14=0.)
c) Thay N(2;0;0) vào (α): 2·2-0+3·0+4=8≠0 nên N không thuộc (α) → sai.
d) d(M,(α))=|2·1-2+3·3+4|/√(4+1+9)=13/√14 ≠ 14/√13 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
u·n=-4+1+3=0 và v·n=-3+3=0, cả hai vectơ vuông góc với pháp tuyến n=(2;-1;3) nên là cặp vectơ chỉ phương của (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q): x+2y+3z-14=0 qua M; cắt trục tại A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3); MA·BC=0 và MB·AC=0 nên M là trực tâm tam giác ABC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(2;0;0): 4+0+0+4=8≠0 nên N không thuộc (α).
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(α))=|2-2+9+4|/√14=13/√14, không bằng 14/√13.
a) Pháp tuyến của (α) là n=(2;-1;3). Kiểm tra: u·n=(-2)(2)+(-1)(-1)+1·3=-4+1+3=0; v·n=0·2+3·(-1)+1·3=0. Cả hai vectơ đều vuông góc với n nên là cặp vectơ chỉ phương của (α) → đúng.
b) Mặt phẳng (Q): x+2y+3z-14=0 đi qua M vì 1+4+9-14=0. Giao với các trục: A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3). Kiểm tra trực tâm: MA=(13;-2;-3), BC=(0;-7;14/3), MA·BC=14-14=0; MB=(-1;5;-3), AC=(-14;0;14/3), MB·AC=14-14=0. M nằm trên hai đường cao nên là trực tâm tam giác ABC → đúng. (Có thể kiểm tra lại bằng cách tìm tổng quát: mặt phẳng x/a+y/b+z/c=1 có M làm trực tâm khi a=3c, 2b=3c, kết hợp qua M cho đúng phương trình x+2y+3z-14=0.)
c) Thay N(2;0;0) vào (α): 2·2-0+3·0+4=8≠0 nên N không thuộc (α) → sai.
d) d(M,(α))=|2·1-2+3·3+4|/√(4+1+9)=13/√14 ≠ 14/√13 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
u·n=-4+1+3=0 và v·n=-3+3=0, cả hai vectơ vuông góc với pháp tuyến n=(2;-1;3) nên là cặp vectơ chỉ phương của (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q): x+2y+3z-14=0 qua M; cắt trục tại A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3); MA·BC=0 và MB·AC=0 nên M là trực tâm tam giác ABC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(2;0;0): 4+0+0+4=8≠0 nên N không thuộc (α).
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(α))=|2-2+9+4|/√14=13/√14, không bằng 14/√13.