Cho hai hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ và $y=g(x)=-x^2+x$.



Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$; với $S$ bao gồm hai phần $S_1,S_2$ như hình vẽ trên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2+x^2-x=x^3-2x^2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2)$, đổi dấu tại $x=-1,1,2$.
a) Trên $(-1;1)$, $f-g>0$ nên $S_1={\int }_{-1}^1(x^3-2x^2-x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-1}^1=\frac{13}{12}-\left(-\frac{19}{12}\right)=\frac{8}{3}$. Đúng.
b) Trên $(1;2)$, $f-g<0$ nên diện tích phần $S_2$ phải lấy ${\int }_1^2\left[-(x^3-2x^2-x+2)\right]dx$; công thức đề bài (không có giá trị tuyệt đối) cho ${\int }_{-1}^2(x^3-2x^2-x+2)dx=\frac{8}{3}-\frac{5}{12}=\frac{9}{4}\ne S$. Sai.
c) $V=\pi {\int }_1^3{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^3(x^4-2x^3+x^2)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]}_1^3=\pi \left(\frac{171}{10}-\frac{1}{30}\right)=\frac{256\pi }{15}\ne \frac{31}{30}$. Sai.
d) $f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)$ có nghiệm $x=1,x=1\pm \sqrt{3}$; trên $(-1;1-\sqrt{3})$ thì $f<0$, trên $(1-\sqrt{3};1)$ thì $f>0$. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$: $F(1)=\frac{5}{4}$, $F(1-\sqrt{3})=-1$, $F(-1)=-\frac{3}{4}$. Diện tích $=-(F(1-\sqrt{3})-F(-1))+(F(1)-F(1-\sqrt{3}))=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-1;1) có f-g>0, S1 = ∫_{-1}^{1}(x^3-2x^2-x+2)dx = 8/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;2) thì f-g<0 nên phải lấy trị tuyệt đối; tích phân đề bài cho 9/4 ≠ S.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫_1^3 (−x²+x)² dx = 256π/15 ≠ 31/30.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tách tại nghiệm x = 1−√3 của f, diện tích = 1/4 + 9/4 = 5/2.