Cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ đồng tâm $I$, có bán kính lần lượt là $R_1=2$ và $R_2=10$. Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $(S_1)$ và hai đỉnh $C,D$ nằm trên $(S_2)$. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$ bằng

Chọn D.
Thể tích của tứ diện $ABCD$ tính theo khoảng cách và góc giữa hai đường chéo $AB$ và $CD$:
$V=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d(AB,CD)\cdot \sin (AB,CD).$
Để $V$ đạt giá trị lớn nhất, $AB\perp CD$, và qua tâm $I$, đường vuông góc chung của $AB,CD$ đi qua $I$.
Khi đó $d(AB,CD)=d_1+d_2$ với $d_1=d(I,AB)$ và $d_2=d(I,CD)$.
Ta có $AB=2\sqrt{R_1^2-d_1^2}$ và $CD=2\sqrt{R_2^2-d_2^2}$.
Khảo sát hàm số để biểu thức thể tích đạt cực đại với $R_1=2,R_2=10$, ta thu được giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng $6\sqrt{2}$.