Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{2}x+x(x+y)={\log }_2(6-y)+6x$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x^3+3y$ là

Chọn A.
Điều kiện: $x>0,0<y<6$.
Phương trình tương đương:
${\log }_{2}x-{\log }_2(6-y)+x^2+xy-6x=0\iff {\log }_2\left(\frac{x}{6-y}\right)+x(x+y-6)=0$
$\iff {\log }_{2}x+x^2={\log }_2(6-y)+(6-y)-xy\dots$
Nhận xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến, ta suy ra mối quan hệ $x+y=6\iff y=6-x$.
Thay vào $T$ ta được:
$T=x^3+3(6-x)=x^3-3x+18.$
Xét trên khoảng $(0;6)$, ta có $T^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=1$ (vì $x>0$).
Giá trị nhỏ nhất của $T$ tại $x=1$ là $T(1)=1^3-3(1)+18=16$.