Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có điểm $A(-1;3)$ và $B(1;-1)$ là hai điểm cực trị. Tính $S=a^2+b^2+c^2+d^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x=-1$ và $x=1$ nên $-1$ và $1$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$. Theo Vi-ét: tổng nghiệm $=-\frac{2b}{3a}=0\Rightarrow b=0$; tích nghiệm $=\frac{c}{3a}=-1\Rightarrow c=-3a$.

Điểm cực trị nằm trên đồ thị:
$f(-1)=-a-c+d=3$; $f(1)=a+c+d=-1$.
Cộng hai phương trình: $2d=2\Rightarrow d=1$. Suy ra $a+c=-2$, kết hợp $c=-3a$ được $-2a=-2\Rightarrow a=1$, $c=-3$.

Vậy $S=a^2+b^2+c^2+d^2=1+0+9+1=11$.