Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên . Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{(x+1)(x^2-1)}{f^2(x)-2f(x)}$ là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f$ có cực đại $f(-1)=4$, cực tiểu $f(1)=0$, $f(0)=2$, nên $f(x)=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ (kiểm tra: $f(-1)=4,f(0)=2,f(1)=0$ đều đúng).

Ta có $g(x)=\frac{(x+1)(x^2-1)}{f^2(x)-2f(x)}=\frac{(x+1{)}^2(x-1)}{f(x)(f(x)-2)}$.

Tiệm cận đứng: mẫu triệt tiêu khi $f(x)=0\iff x=1$ (nghiệm kép) hoặc $x=-2$; và $f(x)=2\iff x^3-3x=0\iff x=0,x=\pm \sqrt{3}$.
- Tại $x=-2,x=0,x=\pm \sqrt{3}$: tử khác 0 nên là TCĐ (4 đường).
- Tại $x=1$: tử có nghiệm đơn $(x-1)$, mẫu có $f^2$ tức bậc 2, nên $g\to \infty$: $x=1$ là TCĐ.
- Tại $x=-1$: tử triệt tiêu bậc 2, mẫu $f(-1)(f(-1)-2)=4\cdot 2\ne 0$ nên không phải TCĐ.
Vậy có 5 tiệm cận đứng: $x=-2,x=0,x=1,x=\pm \sqrt{3}$.

Tiệm cận ngang: khi $x\to \pm \infty$, $g(x)\sim \frac{x^3}{x^6}\to 0$, nên $y=0$ là TCN (1 đường).

Tổng: $5+1=6$.