Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, với cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$. a) Đúng vì f nghịch biến trên $(-1;1)$. b) Đúng vì f đồng biến trên hai khoảng đó nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x$ thuộc $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. c) Sai vì $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$; trên $(0;2)$, f nghịch biến trên $(0;1)$ nhưng đồng biến trên $(1;2)$, nên g không nghịch biến trên toàn $(0;2)$. d) Đúng: với $x>0$, $f(|x|)=f(x)$ nên đồng biến trên $(1;+\infty )$; với $x\in (-1;0)$, $y^{\prime }=-f^{\prime }(-x)$, mà $-x\in (0;1)$ nên $f^{\prime }(-x)<0$, suy ra $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên $(-1;0)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị giảm trên khoảng $(-1;1)$ (từ cực đại tại $x=-1$ xuống cực tiểu tại $x=1$).
b) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ nên $f^{\prime }(x)>0$ trên hai khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$; trên $(0;2)$ f nghịch biến trên $(0;1)$ nhưng đồng biến trên $(1;2)$, nên g không nghịch biến trên toàn khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $f(|x|)=f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$. Với $x\in (-1;0)$: $y^{\prime }=-f^{\prime }(-x)$, $-x\in (0;1)$ nên $f^{\prime }(-x)<0$, do đó $y^{\prime }>0$: đồng biến.