Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo (xem hình minh họa 
). Giả sử trong không gian với hệ tọa độ , ba điểm trên miệng của chậu cây là , , ; điểm treo nằm trên mặt phẳng : . Bình phương khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ bằng bao nhiêu?
Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo (xem hình minh họa ). Giả sử trong không gian với hệ tọa độ , ba điểm trên miệng của chậu cây là , , ; điểm treo nằm trên mặt phẳng : . Bình phương khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ bằng bao nhiêu?
). Giả sử trong không gian với hệ tọa độ , ba điểm trên miệng của chậu cây là , , ; điểm treo nằm trên mặt phẳng : . Bình phương khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ bằng bao nhiêu?Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Vì MA = MB = MC nên M nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tâm ngoại tiếp P=(x;y;z) thỏa PA=PB=PC: 2x−3y−z−2=0 và 4x+2y=0, kết hợp P thuộc (ABC): x+2y−4z+6=0 (pháp vector n = AB×AC = (1;2;−4)). Giải hệ được P=(2/5; −4/5; 6/5). Đường thẳng d: (x;y;z) = (2/5+t; −4/5+2t; 6/5−4t). Thay vào mặt phẳng (α): 2x+2y+z−3=0 → −13/5+2t=0 → t=13/10. Vậy M=(17/10; 9/5; −4). Kiểm tra: MA² = (17/10)²+(19/5)²+36 = 2,89+14,44+36 = 53,33; MB² = (3/10)²+(38/5)²+25 = 0,09+57,76+25 = 82,85... kiểm tra lại: MB = (17/10−2; 9/5+2; −5) = (−3/10; 19/5; −5), MB² = 0,09+14,44+25 = 39,53; MC = (17/10+2; 9/5; −5) = (37/10; 9/5; −5), MC² = 13,69+3,24+25 = 41,93. Cần MA=MB=MC, kiểm tra MA: (17/10; 9/5−1; −6) = (17/10; 4/5; −6), MA² = 2,89+0,64+36 = 39,53 = MB². MC² = 41,93 ≠ 39,53, kiểm tra lại phép tính MC: C(−2;0;1), M−C = (17/10+2; 9/5; −5) = (37/10; 9/5; −5) → 13,69+3,24+25 = 41,93. Có sai sót, tính lại tâm P: phương trình PA²=PC²: x²+(y−1)²+(z−2)² = (x+2)²+y²+(z−1)² → −2y−4z+5 = 4x−2z+5 → 4x+2y=0, đúng. PA²=PB²: −2y−4z+5 = −4x+4y−2z+9 → 4x−6y−2z−4=0, đúng. Mặt phẳng (ABC): kiểm tra n·AB = 2−6+4 = 0, n·AC = −2−2+4 = 0, đúng. P=(2/5;−4/5;6/5): kiểm tra PA² = 4/25+81/25+16/25 = 101/25; PB² = (−8/5)²+(6/5)²+(1/5)² = 64/25+36/25+1/25 = 101/25; PC² = (12/5)²+(−4/5)²+(1/5)² = 144/25+16/25+1/25 = 161/25. Sai! Tính lại PC: P−C = (2/5+2; −4/5; 6/5−1) = (12/5; −4/5; 1/5) → 161/25 ≠ 101/25. Vậy P chưa đúng, kiểm tra phương trình PA²=PC²: PA²−PC² = [x²−(x+2)²] + [(y−1)²−y²] + [(z−2)²−(z−1)²] = (−4x−4) + (−2y+1) + (−2z+3) = −4x−2y−2z+0. Đặt =0: 2x+y+z=0. Trước đó tôi viết sai dấu. Sửa hệ: 2x−3y−z−2=0; 2x+y+z=0; x+2y−4z+6=0. Từ pt2: z=−2x−y. Thay vào pt1: 2x−3y+2x+y−2=0 → 4x−2y−2=0 → y=2x−1. Thay vào pt3: x+4x−2−4(−2x−(2x−1))+6=0 → 5x+4+8x+8x−4+6... cẩn thận: z=−2x−(2x−1)=−4x+1. pt3: x+2(2x−1)−4(−4x+1)+6=0 → x+4x−2+16x−4+6=0 → 21x=0 → x=0. Vậy P=(0;−1;1). Kiểm tra: PA² = 0+4+1=5; PB² = 4+1+0=5; PC² = 4+1+0=5. Đúng. Đường thẳng d: (t; −1+2t; 1−4t). Thay vào (α): 2t+2(−1+2t)+(1−4t)−3 = 2t−2+4t+1−4t−3 = 2t−4 = 0 → t=2. M=(2; 3; −7). Kiểm tra MA² = 4+4+81 = 89; MB² = 0+25+64 = 89; MC² = 16+9+64 = 89. Đúng. Vậy OM² = 4+9+49 = 62.
Vì MA = MB = MC nên M nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tâm ngoại tiếp P=(x;y;z) thỏa PA=PB=PC: 2x−3y−z−2=0 và 4x+2y=0, kết hợp P thuộc (ABC): x+2y−4z+6=0 (pháp vector n = AB×AC = (1;2;−4)). Giải hệ được P=(2/5; −4/5; 6/5). Đường thẳng d: (x;y;z) = (2/5+t; −4/5+2t; 6/5−4t). Thay vào mặt phẳng (α): 2x+2y+z−3=0 → −13/5+2t=0 → t=13/10. Vậy M=(17/10; 9/5; −4). Kiểm tra: MA² = (17/10)²+(19/5)²+36 = 2,89+14,44+36 = 53,33; MB² = (3/10)²+(38/5)²+25 = 0,09+57,76+25 = 82,85... kiểm tra lại: MB = (17/10−2; 9/5+2; −5) = (−3/10; 19/5; −5), MB² = 0,09+14,44+25 = 39,53; MC = (17/10+2; 9/5; −5) = (37/10; 9/5; −5), MC² = 13,69+3,24+25 = 41,93. Cần MA=MB=MC, kiểm tra MA: (17/10; 9/5−1; −6) = (17/10; 4/5; −6), MA² = 2,89+0,64+36 = 39,53 = MB². MC² = 41,93 ≠ 39,53, kiểm tra lại phép tính MC: C(−2;0;1), M−C = (17/10+2; 9/5; −5) = (37/10; 9/5; −5) → 13,69+3,24+25 = 41,93. Có sai sót, tính lại tâm P: phương trình PA²=PC²: x²+(y−1)²+(z−2)² = (x+2)²+y²+(z−1)² → −2y−4z+5 = 4x−2z+5 → 4x+2y=0, đúng. PA²=PB²: −2y−4z+5 = −4x+4y−2z+9 → 4x−6y−2z−4=0, đúng. Mặt phẳng (ABC): kiểm tra n·AB = 2−6+4 = 0, n·AC = −2−2+4 = 0, đúng. P=(2/5;−4/5;6/5): kiểm tra PA² = 4/25+81/25+16/25 = 101/25; PB² = (−8/5)²+(6/5)²+(1/5)² = 64/25+36/25+1/25 = 101/25; PC² = (12/5)²+(−4/5)²+(1/5)² = 144/25+16/25+1/25 = 161/25. Sai! Tính lại PC: P−C = (2/5+2; −4/5; 6/5−1) = (12/5; −4/5; 1/5) → 161/25 ≠ 101/25. Vậy P chưa đúng, kiểm tra phương trình PA²=PC²: PA²−PC² = [x²−(x+2)²] + [(y−1)²−y²] + [(z−2)²−(z−1)²] = (−4x−4) + (−2y+1) + (−2z+3) = −4x−2y−2z+0. Đặt =0: 2x+y+z=0. Trước đó tôi viết sai dấu. Sửa hệ: 2x−3y−z−2=0; 2x+y+z=0; x+2y−4z+6=0. Từ pt2: z=−2x−y. Thay vào pt1: 2x−3y+2x+y−2=0 → 4x−2y−2=0 → y=2x−1. Thay vào pt3: x+4x−2−4(−2x−(2x−1))+6=0 → 5x+4+8x+8x−4+6... cẩn thận: z=−2x−(2x−1)=−4x+1. pt3: x+2(2x−1)−4(−4x+1)+6=0 → x+4x−2+16x−4+6=0 → 21x=0 → x=0. Vậy P=(0;−1;1). Kiểm tra: PA² = 0+4+1=5; PB² = 4+1+0=5; PC² = 4+1+0=5. Đúng. Đường thẳng d: (t; −1+2t; 1−4t). Thay vào (α): 2t+2(−1+2t)+(1−4t)−3 = 2t−2+4t+1−4t−3 = 2t−4 = 0 → t=2. M=(2; 3; −7). Kiểm tra MA² = 4+4+81 = 89; MB² = 0+25+64 = 89; MC² = 16+9+64 = 89. Đúng. Vậy OM² = 4+9+49 = 62.