Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Hàm số $g(x)=4f(x^2-4)+x^4-8x^2$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

**Chọn A**

Ta có $g^{\prime }(x)=8x{f}^{\prime }(x^2-4)+4x^3-16x=4x\left[2f^{\prime }(x^2-4)+x^2-4\right]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f^{\prime }(x^2-4)=-\frac{x^2-4}{2}(\ast )\end{array}$.
Đặt $t=x^2-4$, phương trình (*) trở thành $f^{\prime }(t)=-\frac{t}{2}$.
Vẽ đường thẳng $y=-\frac{t}{2}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ tại $3$ điểm có hoành độ $t=-2$, $t=0$, $t=4$.
Do đó:
$[\begin{array}{l}{x}^2-4=-2\\ x^2-4=0\\ x^2-4=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{2}\\ x=\pm 2\\ x=\pm 2\sqrt{2}\end{array}$.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có $7$ nghiệm đơn phân biệt.
Khi $x\to +\infty$, $g^{\prime }(x)>0$. Suy ra hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực tiểu và $3$ điểm cực đại.