Cho hàm số $f(x)=-2\sin x\cos x-x$.

(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-2\sin x\cos x-x=-\sin 2x-x$, nên $f^{\prime }(x)=-2\cos 2x-1$. a) Sai vì $f^{\prime }(x)=-2\cos 2x-1\ne 2\cos 2x-1$. b) $f^{\prime }(x)=0\iff \cos 2x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$; trên $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$ có $x=-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$, tổng $=\frac{2\pi }{3}$ → Đúng. c) Xét dấu $f^{\prime }$: tại $x=-\frac{\pi }{3}$, $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=\frac{\pi }{3}$, $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=\frac{2\pi }{3}$, $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy chỉ có MỘT điểm cực tiểu → Sai. d) Tính $f(-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}$, $f(-\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{3}\approx 1,91$, $f(\frac{\pi }{3})\approx -1,91$, $f(\frac{2\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi }{3}\approx -1,23$, $f(\pi )=-\pi \approx -3,14$. Giá trị nhỏ nhất là $-\pi$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=-\sin 2x-x$ nên $f^{\prime }(x)=-2\cos 2x-1$, không phải $2\cos 2x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$; các nghiệm trên đoạn là $-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$, tổng $\frac{2\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có một điểm cực tiểu tại $x=\frac{\pi }{3}$; $x=-\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{2\pi }{3}$ là điểm cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh giá trị tại hai đầu và các nghiệm $f^{\prime }(x)=0$: nhỏ nhất là $f(\pi )=-\pi$.