Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$, nên ý a) Đúng. Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ là $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$, vì ${\left(\ln |x|\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ với mọi $x\ne 0$; do đó ý c) Đúng. Hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không phải nguyên hàm của $f(x)$ trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (vì $\ln x$ không xác định khi $x<0$), nên ý b) Sai. Với ý d): $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$; $F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=x^2+x+\ln |x|+1$ và $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$; ý d) Đúng. Kết quả khớp bảng HD chấm (đề 103, Phần II Câu 2): Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Chia từng hạng tử: $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi $f(x)$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; nên $F$ không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định của $f$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì ${\left(x^2+x+\ln |x|+C\right)}^{\prime }=2x+1+\frac{1}{x}=f(x)$ với mọi $x\ne 0$, đây là họ tất cả các nguyên hàm của $f$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(1)=2+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$. Đúng.