Cho hàm số $f(x)={\log }_3(5x-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện $5x-3>0\Rightarrow x>\frac{3}{5}$, tập xác định là $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$ (khoảng mở), không phải $\left[\frac{3}{5};+\infty \right)$ → sai.
b) ${\log }_3(5x-3)=1\Rightarrow 5x-3=3\Rightarrow x=\frac{6}{5}$ → đúng.
c) $f(x)<3\Rightarrow 0<5x-3<27\Rightarrow \frac{3}{5}<x<6$, số nguyên: $1,2,3,4,5$ — đúng 5 nghiệm → đúng.
d) Gọi $A(a,b)$, vì $A$ là trung điểm $OB$ (với $O$ gốc tọa độ) nên $B(2a,2b)$. Cả hai điểm thuộc đồ thị: $b={\log }_3(5a-3)$ và $2b={\log }_3(10a-3)$. Suy ra $(5a-3{)}^2=10a-3\Rightarrow 25a^2-40a+12=0\Rightarrow a=\frac{6}{5}$ (nhánh $a=\frac{2}{5}$ bị loại vì $5a-3<0$). Khi đó $b={\log }_{3}3=1$, $B=\left(\frac{12}{5};2\right)$, $OB=\sqrt{\frac{144}{25}+4}=\frac{2\sqrt{61}}{5}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$ vì cần $5x-3>0$ (điều kiện ngặt).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_3(5x-3)=1\Rightarrow 5x-3=3\Rightarrow x=\frac{6}{5}$, thỏa điều kiện.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<3\iff \frac{3}{5}<x<6$, các số nguyên $1,2,3,4,5$: đúng 5 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(a,b)$ trung điểm $OB$ thì $B(2a,2b)$; từ $(5a-3{)}^2=10a-3$ được $a=\frac{6}{5},b=1$, nên $OB=\sqrt{{\left(\frac{12}{5}\right)}^2+2^2}=\frac{2\sqrt{61}}{5}$.